Question

（2012•浦口区一模）提出问题：
如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
猜想结论：
经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
证明猜想：
（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S_△AEG=S_△ABC．
结论应用：
（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m²、5m²和4m²．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

Answer 1

分析：（1）分为3种情况，当∠BAC=90°时，根据正方形的性质证明三角形全等就可以得出结论；当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．同样证明三角形全等可以得出结论；当∠BAC＞90°时，通过作辅助线BM⊥CG的延长线与M，EN⊥AG于N，通过证明△BMA≌△ENA同样可以得出结论．
（2）先由条件根据勾股定的逆定理可以求出△DCG是直角三角形，可以求出△DCG的面积，根据（1）的结论就可以知道△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，从而就可以求出六边形的面积．

解答：（1）证明：①如图（1），当∠BAC=90°时，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC=∠EAG=90°，
∵在△BAC和△EAG中

AB=AE ∠BAC=∠EAG AC=AG

，
∴△BAC≌△EAG（SAS），
∴S_△AEG=S_△ABC．   
②如图（2），当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，
过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．
∴∠AMC=∠ANG=90°
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=90°，
∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°，
∴∠GAN=∠MAC．
∵在△GAN和△CAM中，

∠GAN=∠MAC ∠ANG=∠AMC AG=AC

，
∴△AMC≌△ANG（AAS），
∴GN=CM．
∵S_△AEG=

1

2

AE•GN，S_△ABC=

1

2

AB•CM，
∴S_△AEG=S_△ABC．
③如图（3），当∠BAC＞90°时，BM⊥CG的延长线与M，EN⊥AG于N，
∴∠AMB=∠ANE=90°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AG=AC，∠BAE=∠CAG=∠GAM=90°，
∴∠BAM=∠EAN．
∵在△BAM和△EAN中，

∠AMB=∠ANE ∠BAM=∠EAN AB=AE

，
∴△BAM≌△EAN（AAS），
∴BM=EN．
∵S_△AEG=

1

2

AG•EN，S_△ABC=

1

2

AC•BM，
∴S_△AEG=S_△ABC．

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面积分别为9m²、5m²和4m²，
∴DC²=9m²，CG²=5m²，DG²=4m²．
∴DC²=CG²+DG²，
∴△DCG是直角三角形，
∴∠DGC=90°．
∴S_△DCG=

1

2

•DG•CG=

1

2

×2×

5

=

5

m．
∵四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，根据上面结论可得：
△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，
∴六边形ABIHFE的面积为9+5+4+4×

5

=（18+4

5

） m²．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，三角形面积公式的运用及正方形的性质的运用，解答时通过作辅助线证明三角形全等是关键．