Question

10．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，函数f（x）=ax²-2x+1，在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为m（a），令g（x）=M（a）-m（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 先计算f（x）的对称轴，由$\frac{1}{3}$≤a≤1得1≤$\frac{1}{a}$≤3，可知抛物线开口向上，有最小值；则m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，再根据a的值分两种情况进行讨论，得出结论．

解答 解：函数f（x）=ax²-2x+1的对称轴是x=-$\frac{-2}{2a}$=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，
∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，抛物线开口向上，有最小值，
∴m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∵f（x）在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为m（a），
①当1≤$\frac{1}{a}$≤2时，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∴g（a）=M（a）-m（a）=9a-5-1+$\frac{1}{a}$=9a+$\frac{1}{a}$-6，
②当2＜$\frac{1}{a}$≤3时，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，
M（a）=f（1）=a-1，m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∴g（a）=M（a）-m（a）=a-1-1+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$-2，
综上所述：g（a）的表达式为：$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6（\frac{1}{2}≤a≤1）}\\{a+\frac{1}{a}-2（\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$

点评 本题是二次函数的最值问题，此类问题比较难理解，二次函数的最值分三种情况计算：（1）当a＞0时，图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．本题属于第三种情况，因此难度较大．