Question

【题目】如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．

Answer 1

【答案】8或

【解析】

根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．

解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，

∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

∴，

由垂径定理可知，

∴，

在Rt△OAH中，

在Rt△CAP中， ，且

∴，

在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，

∴Rt△PAG∽Rt△PCA

∴ ，则，

∴；

②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，

∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，

∴BC=AB=8

故答案为8或