Question

19．如图，△OBD中，OD=BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是BC的中点．
（1）求∠COD度数；
（2）求证：四边形ODAC是菱形．

Answer 1

分析 （1）如图，根据题意证明△OBC为直角三角形，结合OC=$\frac{1}{2}BC$，求出∠B即可解决问题．
（2）首先证明AC∥OD，结合AC=OD，判断四边形ADOC为平行四边形，根据菱形的定义即可解决问题．

解答 解：（1）如图，由题意得：OC=OD=BD；
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴△OBC为直角三角形，而OC=$\frac{1}{2}BC$，
∴∠B=30°，∠OCD=90°-30°=60°，；
∵OD=CD，
∴∠COD=∠OCD=60°．
（2）∵OD=BD，
∴∠DOB=∠B=30°，
由旋转变换的性质知：
∠COA=∠CAO=∠B=30°，
∴∠AOD=90°-2×30°=30°，
∴∠CAO=∠AOD=30°，
∴AC∥OD，而AC=OD，
∴四边形ADOC为平行四边形，而OC=OD，
∴四边形ODAC是菱形．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的判定、菱形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、直角三角形的判定、菱形的判定等几何知识点，并能灵活运用．