Question

如图，ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G．求证：EG=GF．

Answer 1

分析：过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N．根据两条平行线间的距离相等，得三角形BEF的面积等于三角形DEF的面积，则三角形BEC的面积等于三角形DCF的面积；进一步证明三角形BMC的面积等于三角形DCN的面积，则MC=NC，结合平行线分线段成比例定理易证明EG=GF．

解答：证明：如图，过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N．
由BD∥EF，可知MN∥BD．
易知S_△BEF=S_△DEF．
又

S△BMC

S△BEF

=

S△DCN

S△DEF

，
则S_△BMC=S_△DCN．
则MC=NC．
又

MC

EG

=

AC

AG

=

NC

FG

，
∴EG=GF．

点评：此题综合考查了三角形的面积比的计算方法：根据三角形的面积公式；相似三角形的面积比是相似比的平方．