Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）探索线段OE和OF的大小关系并说明理由；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是矩形可证明△BOE≌△DOF，从而即可得出答案；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定性质即可证明；

解答：解：（1）OE=OF．
理由：因为四边形ABCD是矩形，所以OB=OD，AB∥CD，
则∠E=∠F，∠EBO=∠FDO，
所以△BOE≌△DOF，则OE=OF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
理由：因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC，
由（1）知OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，所以四边形AECF是菱形．

点评：本题考查了矩形的性质及菱形的判定，属于基础题，关键是掌握矩形的性质与菱形的判定方法．