Question

7．已知：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点M，N分别在AC，BC上，将△ABC沿MN折叠，顶点C恰好落在斜边上的P点．

（1）如图1，当MN∥AB时，①求证：AM=MC；②$\frac{PA}{PB}=\frac{CM}{CN}$；
（2）如图2，当MN与AB不平行时，$\frac{PA}{PB}=\frac{CM}{CN}$还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据折叠的性质和MN∥AB得到MA=MP，CM=PM，即可得到AM=MC；
②由①知MC=NC=AM=BN，易证△APM∽△BPN，根据相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）过M、N分别做AB的垂线，垂足分别为E、F，由△MEP∽△PFN和△MAE和△NFB均为等腰直角三角形，可证明结论．

解答 （1）证明：①由折叠可知∠CMN=∠NMP，CM=PM，
∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠A，∠NMP=∠MPA，
∴∠A=∠MPA，
∴MA=MP，
∴AM=CM，
②由①可知∠CMN=∠A=45°，∠CNM=∠B=45°，∠A=∠B=45°，
∴MC=NC=AM=BN，
∴∠PMA=∠PNB=90°，
∴△APM∽△BPN
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AM}{BN}$，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{CM}{CN}$；
（2）成立．理由如下：
解：过M、N分别做AB的垂线，垂足分别为E、F，
由题意可知，CM=PM，CN=PN，∠MPN=90°
∴∠MPE+∠NPF=90°，
∵∠MPE+∠EMP=90°，
∴∠EMP=∠NPF，
∴△MEP∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{ME}{PF}=\frac{PE}{NF}$，
∵∠A=∠B=45°，ME⊥AP，NF⊥AB，
∴△MAE和△NFB均为等腰直角三角形，
∴ME=AE，NF=BF，
由△MEP∽△PFN，
∴$\frac{ME}{PF}=\frac{PE}{NF}=\frac{MP}{PN}$，
∴$\frac{ME}{PE}=\frac{PF}{NF}$，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PF}{BF}$，
∴$\frac{AE+PE}{PE}=\frac{PF+BF}{BF}$，
∴$\frac{AP}{PE}=\frac{PB}{BF}$，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{PE}{BF}=\frac{PE}{NF}$，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{MP}{PN}=\frac{CM}{CN}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例转移线段比是解决此题的关键．