Question

如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；
（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面积的

1

2

，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

3

=

3

5

，AD=

9

5

．

（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即

AE

AC

=

EF

BC

，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴

x

3

=

EF

4

，EF=

4

3

x，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²．
如图B：当AD＜x≤AB，即

9

5

＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴

EB

BC

=

EF

AC

，
∵AE=x，△AEF的面积为y，

5-x

4

=

EF

3

，
∴EF=

15-3x

4

，
y=

1

2

×AE×EF=

1

2

x•

15-3x

4

=

15x

8

-

3x2

8

．
②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

时，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²，当x=AD，即x=

9

5

时，y_最大=

2

3

×（

9

5

）²=

54

25

．
如图B：当AD＜x≤BD，即

9

5

＜x≤5时，
y=

1

2

x×

3

4

（5-x）=

15x

8

-

3x2

8

，y_最大=

75

32

，此时x=2.5＜5，故成立．
故y_最大=

75

32

．

（3）存在．
假设存在，当0＜x≤5时，AF=6-x，∴0＜6-x＜3，
∴3＜x＜6，
∴3＜x≤5，
作FG⊥AB于点G，
由△AFG∽△ACD，
∴

AF

AC

=

FG

CD

，
∴

6-x

3

=

FG

12 5

，
即FG=

4

5

（6-x），
∴S_△AEF=

1

2

x•

4

5

（6-x）=-

2

5

x²+

12

5

x，
∴3=-

2

5

x²+

12

5

x，
解得：x₁=

6+ 6

2

，x₂=

6- 6

2

，
∵3＜x≤5，
∴x₁=

6+ 6

2

（符合题意），x₂=

6- 6

2

（不合题意，应舍去），
故存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，此时x=

6+ 6

2

．

点评：此题考查了二次函数的综合知识，比较复杂，是典型的动点问题，涉及面较广，涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识，综合性较强．