Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当cosA=

4

5

，AC=8时，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD、BD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD，解直角三角形即可求出AB．∽

解答：（1）证明：连接BD、OD，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC
∴AD=DC，
又∵AO=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
又∵点D在⊙O上，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵AC=8，AD=DC，
∴AD=4，
∵cosA=

AD

AB

=

4

5

，
∴AB=

AD

cosA

=5．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．