Question

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（

2

，

2

），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=

n

x

（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+

157

48

，试求出t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题,压轴题,新定义

分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=

n

x

，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）假设函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s-1，整理得（3k-1）x=1-s，再分三种情况进行讨论即可；
（3）先将A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，根据方程的解的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x₁+x₂=

1-b

a

，x₁•x₂=

1

a

，则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

b2-2b+1-4a

a2

=4，整理得出b²-2b=（2a+1）²-2，则t=b²-2b+

157

48

=（2a+1）²+

61

48

．再由-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，得出-4＜x₂＜4，-8＜x₁•x₂＜8，即-8＜

1

a

＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞

1

8

，进而求出t的取值范围．

解答：解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，
∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=

n

x

（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=

4

x

；

（2）假设函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），
则有x=3kx+s-1，
整理，得（3k-1）x=1-s，
当3k-1≠0，即k≠

1

3

时，解得x=

1-s

3k-1

；
当3k-1=0，1-s=0，即k=

1

3

，s=1时，x有无穷多解；
当3k-1=0，1-s≠0，即k=

1

3

，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠

1

3

时，“梦之点”的坐标为（

1-s

3k-1

，

1-s

3k-1

）；当k=

1

3

，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=

1

3

，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=

1-b

a

，x₁•x₂=

1

a

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

1-b

a

）²-4•

1

a

=

b2-2b+1-4a

a2

=4，
∴b²-2b=4a²+4a-1=（2a+1）²-2，
∴t=b²-2b+

157

48

=（2a+1）²-2+

157

48

=（2a+1）²+

61

48

．
∵-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，
∴-4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴-4＜x₂＜4，
∴-8＜x₁•x₂＜8，
∴-8＜

1

a

＜8，
∵a＞0，
∴a＞

1

8

∴（2a+1）²+

61

48

＞

25

16

+

61

48

=

17

6

，
∴t＞

17

6

．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax=b的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度．