【题目】如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D,DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC,现有下列结论:①DE=DF; ②DE+DF=AD; ③DM平分∠ADF; ④AB+AC=2AE,其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
①由角平分线的性质可知①正确;②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故可得ED=AD,DF=AD,从而可证明②正确;③若DM平分∠ADF,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC为直角三角形,条件不足,不能确定,故③错误;④证明△EBD≌△DFC和Rt△AED≌Rt△AFD,从而得到BE=FC,AE=AF,进而可证明④正确.
解:如图所示:连接BD、DC.
①∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴①正确;
②∵∠EAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD=30°,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
∴ED=AD,
同理:DF=AD,
∴DE+DF=AD,
∴②正确;
③由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°,
假设DM平分∠ADF,则∠ADM=30°,则∠EDM=90°,
又∵∠E=∠BMD=90°,
∴∠EBM=90°,
∴∠ABC=90°,
∵不知道∠ABC是否等于90°,
∴不能判定DM平分∠ADF,
∴③错误;
④∵DM是BC的垂直平分线,
∴DB=DC,
在Rt△BED和Rt△CFD中,,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=FC,
同理可证,Rt△AED≌Rt△AFD,
∴AE=AF,
∴AB+AC=AEBE+AF+FC=2AE,
∴④正确,
故选:C.
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【题目】(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(2,3),B(-3,n)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若P是y轴上一点,且满足△PAB的面积是5,求OP的长.
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【题目】如图,已知四边形ABCD为矩形,AD=20cm、AB=10cm.M点从D到A,P点从B到C,两点的速度都为2cm/s;N点从A到B,Q点从C到D,两点的速度都为1cm/s.若四个点同时出发.
(1)判断四边形MNPQ的形状.
(2)四边形MNPQ能为菱形吗?若能,请求出此时运动的时间;若不能,说明理由.
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【题目】善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间(单位:分钟)与学习收益量的关系如图1所示,用于回顾反思的时间(单位:分钟)与学习收益的关系如图2所示(其中是抛物线的一部分,为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求小迪解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式;
(2)求小迪回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间的函数关系式;
(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最大?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=36°时,求∠DEF的度数.
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【题目】如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?( )
A. 115 B. 120 C. 125 D. 130
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=9cm,DE=3cm,则BC的长为 ( )
A.12cmB.11cmC.9cmD.6cm
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,E为线段AD上一点,过E点的线段FG交CD的延长线于G点,交AC于F点,且EG=AE.分别延长CE,BG交于点H,若EH平分∠AEG,HD平分∠CHG则下列说法:①∠GDH=45°;②GD=ED;③EF=2DM;④CG=2DE+AE,正确的是( )
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
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