Question

7．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）
（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；
（2）成立，
如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，

则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDB=∠E}\\{∠BFD=∠DCE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$
∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．
（3）（2）中的结论仍成立，
如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，

∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
在△BPD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠DEC}\\{∠P=∠DCE=6{0}^{°}}\\{DB=DE}\end{array}\right.$
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．