Question

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD，则以下结论中一定正确的个数有
①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形．

1. A.
   0个
2. B.
   1个
3. C.
   2个
4. D.
   3个

Answer 1

D
分析：①EF、FD是直角三角形斜边上的中线，都等于BC的一半；②可证△ABD∽△ACE；③证明∠EFD=60°．
解答：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中点，∴EF=DF=BC．故此选项正确；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故此选项正确；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故此选项正确．
故正确的有3个．
故选：D．
点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义，熟练利用相关性质得出是解题关键．