Question

10．如图．圆心O在边长为2$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC上，⊙O过点A，且BC，CD都相切，求$\widehat{AG}$的长．

Answer 1

分析 连接OG，OF，根据切线的性质得到∠CFO=90°，根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，根据等腰三角形的性质得到∠AGO=∠GAO=45°，求得∠AOG=90°，设⊙O的半径为R，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{2}$R，于是得到AC=（$\sqrt{2}+1$）R=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}•\sqrt{2}$，求得R=4（$\sqrt{2}$-1），根据弧长的公式即可得到结论．

解答 解：连结OG，OF，
∵BC与⊙O相切，
∴∠CFO=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵OA=OG，
∴∠AGO=∠GAO=45°，
∴∠AOG=90°，
设⊙O的半径为R，
∴OC=$\sqrt{2}$R，
∴AC=（$\sqrt{2}+1$）R=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}•\sqrt{2}$，
∴R=4（$\sqrt{2}$-1），
∴$\widehat{AG}$的长度=$\frac{90•π×4（\sqrt{2}-1）}{180}$=（2$\sqrt{2}$-2）π．

点评 本题考查了切线的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．