Question

【题目】△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．

（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；

（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；

（3）连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，则PF长度的最大值为 ；PF长度的最小值为 ；

第27题

Answer 1

【答案】（1）∠GPF=90°；（2））∠FPG=120°，理由详见解析；（3）；

【解析】

（1）由AB=AC、AD=AE，得出BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的重点，可以得出PG∥BD,PF∥CE.则∠GPF=180°-∠α=90°

(2)连接BD、CE,由已知可以证明△ABD≌△ACE,则∠ABD=∠ACE,因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD,PF∥CE,进而得出∠GPF=180°-∠α=120°.

（3）当D在BA的延长线上时，CE=BD最长，此时BD=AB+AD=7;

（1）∵AB=AC、AD=AE，

∴BD=CE，

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，

即∠GPF=90°；

（2）∠FPG=120°；理由如下：

连接BD，连接CE．如图②

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，

即∠GPF=120°；

（3）；