【题目】已知:关于x的方程:mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.
(1)求证:无论m取何值时,方程恒有实数根;
(2)若关于x的二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、y=
【解析】
试题分析:(1)、分两种情况讨论:①当m=0时,方程为一元一次方程,若能求出解,则方程有实数根;
②当m≠0时,方程为一元二次方程,计算出△的值为非负数,可知方程有实数根.(2)、根据二次函数与x轴的交点间的距离公式,求出m的值,从而得到抛物线的解析式.
试题解析:(1)、①当m=0时,原方程可化为x﹣2=0,解得x=2;②当m≠0时,方程为一元二次方程,
△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0,故方程有两个实数根;
故无论m为何值,方程恒有实数根.
(2)、∵二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2,
∴=2, 整理得,3m2﹣2m﹣1=0, 解得m1=1,m2=﹣.
则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣.
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【题目】下列变形中,不正确的是( )
A.a+(b+c﹣d)=a+b+c﹣d
B.a﹣(b﹣c+d)=a﹣b+c﹣d
C.a﹣b﹣(c﹣d)=a﹣b﹣c﹣d
D.a+b﹣(﹣c﹣d)=a+b+c+d
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【题目】已知:如图,在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
(1)求证:∠AOC=∠BOD;
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(﹣3,0),B(﹣4,2),C(﹣1,2).将四边形OABC绕点O顺时针旋转90°后,点A、B、C分别落在点A′、B′、C′处.
(1)请你在所给的直角坐标系中画出旋转后的四边形OA′B′C′;
(2)点C旋转到点C′所经过的弧的半径是 ,点C经过的路线长是 .
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【题目】如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=x2+mx+2的图象与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交交于点B,且OA:OB=1:2.设此二次函数图象的顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置.将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式;
(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1,顶点为D1.点P在平移后的二次函数图象上,且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍,求点P的坐标.
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