Question

5．广雅中学某初中毕业生利用暑假40天时间参加社会实践活动，参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到-种成本为30元/件的新型商品，在第x天销售的相关信息如下表所示． 

销售量p（件）	p=40-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤20时，q=40+$\frac{1}{2}$x； 当21≤x≤50时，q=30+$\frac{525}{x}$

（1）请计算第几天该商品的销售单价为45元/件？
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前7天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在每个x的取值范围内，令q=45，分别解出x的值即可；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售数量，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式，然后再确定出函数的最值即可；
（3）当1≤x≤20时，每天的利润y=$-{\frac{1}{2}x}^{2}+（10-m）x+400+40m$，然后根据x=-$\frac{b}{2a}$≤7求解即可．

解答 解：（1）当1≤x≤20时，令40+$\frac{1}{2}$x=45，得x=10，
当21≤x≤40时，令30+$\frac{525}{x}$=45，
解得：x=35，
经检验得x=35是原方程的解且符合题意，
答：第10天或者第35天该商品的销售单价为45元/件．
（2）当1≤x≤20时，y=（40+$\frac{1}{2}$x-30）（40-x）=-$\frac{1}{2}$x²+10x+400，
当x=-$\frac{b}{2a}$=10时，y有最大值，最大值=$-\frac{1}{2}×1{0}^{2}+10×10+400$=450元．
当21≤x≤40时，y=（30+$\frac{525}{x}$-30）（40-x）=$\frac{21000}{x}$-525，
当x=21时，有最大值，最大值为y=$\frac{21000}{21}-525$=475．
综上所述，第21天获得的利润最大，最大利润是475元．
（3）由题意可知每天的利润y=-$\frac{1}{2}$x²+10x+400+m（40-x）=$-{\frac{1}{2}x}^{2}+（10-m）x+400+40m$，
∵前7天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
∴-$\frac{b}{2a}$≥7，即：-$\frac{10-m}{2×（-\frac{1}{2}）}$≥7．
解得：m≤3．
∴m的取值范围是2≤m≤3．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．