Question

6．如图，△ABC的边AB上的点D满足AC=6，AD=4，AB=9．
（1）△ABC∽△ACD吗？说明理由．
（2）若BC=8，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先通过计算得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，加上∠DAC=∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可得到△ABC∽△ACD；
（2）根据相似三角形的性质得$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{CD}{8}$=$\frac{2}{3}$，然后利用比例计算CD即可．

解答 解：（1）△ABC∽△ACD．理由如下：
∵AC=6，AD=4，AB=9，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
而∠DAC=∠CAB，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{CD}{8}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形相似的性质时，通过相似比计算相应线段的长．