Question

阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，则

1

2007×2008

=

 

，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：

1

n(n+k)

=

 

（其中n，k均为正整数），并计算

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2005×2008

．

Answer 1

分析：发现规律：（1）等式左边等于其分母上两因数的倒数之差；
（2）首先计算每个分数的分母上两因数的倒数之差，再看其与该分数在数值上的区别，思考如何计算才能使二者相等；
（3）受（2）的启发，完成猜测的结论．

解答：解：（1）

1

2007

-

1

2008

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

（

1

2005

-

1

2007

）=

1003

2007

；
（3）

1

n(n+k)

=

1

k

（

1

n

-

1

n+k

）．
原式=

1

3

×（1-

1

4

）+

1

3

×（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

×（

1

2005

-

1

2008

）=

669

2008

．

点评：寻找与发现规律是解答本题的关键．