Question

阅读下面的文字，完成后面的问题．
我们知道，

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，那么

1

4×5

=

 

，

1

2005×2006

=

 

．
（1）用含有n的式子表示你发现的规律

 

；
（2）依上述方法将计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

=

 

（3）如果n，k均为正整数，那么

1

n(n+k)

=

 

．

Answer 1

分析：观察发现，每一个等式的左边都是一个分数，其中分子是1，分母是连续的两个正整数之积，并且如果是第n个等式，分母中的第一个因数就是n，第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差，这两个分数的分子都是1，分母是连续的两个正整数，并且是第n个等式，被减数的分母就是n，减数的分母是n+1．然后把n=4，n=2005代入即可得出第5个等式；
（1）先将（1）中发现的第n个等式的规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

代入，再计算即可；
（2）先类比（1）的规律，得出

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），再计算即可．
（3）根据（2）的规律即可得出结论．

解答：解：∵第一个式子：

1

1×2

=1-

1

2

；
第二个式子：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；
第三个式字：

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…
∴

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

2005×2006

=

1

2005

-

1

2006

．
故答案为：

1

4

-

1

5

，

1

2005

-

1

2006

；

（1）由以上得出的规律可知，第n个等式的规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2003

-

1

2005

）
=

1

2

（1-

1

2005

）
=

1002

2005

（3）由（2）可知n，k均为正整数，

1

k

•(

1

n

-

1

n+k

)．

点评：本题考查了规律型：数字的变化，得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

n(n+k)

=

1

k

（1-

1

n+1

）以及抵消法的运用是解题的关键．