Question

已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．
（1）求证：△EHG是等腰直角三角形；
（2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据C、D、E分别是AP、PB、AB的中点求出CP=DE，再由正方形的性质及全等三角形的判定定理求出△CEG≌△DHE，由直角三角形的两锐角互补即可解答；
（2）连接CE、ED，根据三角形中位线定理及直角三角形的性质可得□CEDP，再由CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°可求出△CEG≌△DHE，再通过等量代换即可解答．

解答：（1）证明：∵C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，
∴CE=AE-AC=

1

2

AB-

1

2

AP=

1

2

（AB-AP）=

1

2

BP=DP．（1分）
∴CE+EP=DP+EP，即CP=DE．
∵四边形CPFG和PDHK都是正方形，
∴在△CEG和△DHE中，
CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°．
∴△CEG≌△DHE．（2分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
而∠EGC+∠CEG=90°，
∴∠HED+∠CEG=90°．
∴∠GEH=90°．
又∵EG=HE，
∴△EHG是等腰直角三角形．（3分）

（2）△EHG还是等腰直角三角形．（4分）
理由如下：
连接CE、ED，
∵点C、D、E分别是AP、PB及AB的中点，
∴CE∥PB，DE∥AP，
∴四边形CEDP是平行四边形，
∴∠PCE=∠PDE．
进而得∠GCE=∠EDH，
再由CE=

1

2

BP=DP=DH，
CG=CP=

1

2

AP=DE，
仍可证△CEG≌△DHE．（5分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
如图，设EG和CP相交于M，
则∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形．（6分）

点评：此题比较复杂，解答此题的关键是熟知正方形及全等三角形的性质，特别是在解（2）时，要根据题意作出辅助线，构造出正方形，结合三角形的中位线定理解答．