Question

17．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），且AB=4，与y轴正半轴交于C点，OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出该抛物线的顶点坐标（1，4），与x轴交点坐标为（-1，0）（3，0）．
（3）抛物线上点（-2，b）在图象上的对称点的坐标是（4，b）．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²-2ax+c可求得对称轴，然后根据抛物线关于对称轴对称，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），且AB=4，与y轴正半轴交于C点，OC=OB，从而可以得到A、B、C三点的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据第一问可以求得该问的答案；
（3）根据抛物线关于对称轴对称，可以求得抛物线上点（-2，b）在图象上的对称点的坐标．

解答 解；（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：x=$-\frac{-2a}{2a}=1$．
∵抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），且AB=4，与y轴正半轴交于C点，OC=OB，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+c=0}\\{9a-6a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得a=-1，c=3．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
（2）∵由（1）可知抛物线的对称轴为：x=1，
∴将x=1代入y=-x²+2x+3得，y=4．
∴该抛物线的顶点坐标为（1，4）．
由（1）知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：（-1，0），（3，0）．
故答案为：（1，4），（-1，0），（3，0）．
（3）∵该抛物线关于直线x=1对称，
∴抛物线上点（-2，b）在图象上的对称点的坐标是（4，b）．
故答案为：（4，b）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，抛物线关于对称轴对称，解题的关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化，根据题目中的已知条件进行转化．