Question

8．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF=DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE=$\frac{2}{3}$EC；
⑤AE=NC，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断⑤；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断②，根据BE是∠ABC的平分线，$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$，故④错误．

解答 解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAN}\\{BD=AD}\\{∠BDF=∠ADN}\end{array}\right.$
∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN，
∴①正确；
在△AFB和△△CNA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠C=4{5}^{°}}\\{AB=AC}\\{∠ABF=∠CAN=22．{5}^{°}}\end{array}\right.$
∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．