Question

17．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$与直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$交于点A，C的两点，点B是点A关于y轴的对称点．
（1）求A，B，C两点的坐标．
（2）当点P在x轴上运动时，若以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（3）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
（4）将（3）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$与y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$组成方程组可求得方程组的解，从而得到点A和点C的坐标，然后关于y轴对称点的坐标特点可求得点B的坐标；
（2）先求得AB的长，然后依据平行四边形对边相等的性质可得到PC=2，故此可得到点P的坐标；
（3）①当点F在第一象限时，设点F的坐标为F（p，p），将点F的坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，可求得P的值，从而得到点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可得点F的坐标为（-3，3），此时点F不在线段AC上舍去；
（4）过点M作MH⊥DN于H，依据题意可知OD=t，由（3）可知正方形GDCF的边长为1则OE=t+1，然后用含t式子表示出点N（t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），点M（t+1，-$\frac{1}{2}$t+1），从而可得到DN、DM、MN的长，然后分为DN=DM、ND=NM、MN=MD三种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$与直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$交于点A，C的两点，
∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，整理得：x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3．
将x=-1代入y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$得：y=2，
∴点A的坐标为（-1，2）．
∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴点B的坐标为（1，2）．
将x=3代入y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$得：y=0，
∴点C的坐标为（3，0）．
（2）∵点A的坐标为（-1，2），点B的坐标为（1，2），
∴AB=2．
∵以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴PC=AB=2．
又∵C的坐标为（3，0），点P在x轴上，
∴C的坐标为（1，0）或（5，0）；
（3）①当点F在第一象限时，如图1所示：

设正方形OEFG的边长为P，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，解得p=1，
∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，同理可得点F的坐标为（-3，3），此时点F不在线段AC上，舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（4）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．


∵点E和点C重合时停止运动，
∴0≤t≤2．
当x=t时，y=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，则N（t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），DN=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，
当x=t+1时，y=-$\frac{1}{2}$（t+1）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$t+1，则M（t+1，-$\frac{1}{2}$t+1），ME=-$\frac{1}{2}$t+1，
在Rt△DEM中，DM²=1²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{1}{2}$t+1）=$\frac{1}{2}$，
∴MN²=1²+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
①当DN=DM时，（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2，解得t=$\frac{1}{2}$；
②当ND=NM时，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得t=3-$\sqrt{5}$；
③当MN=MD时，$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$t²-t+2，解得t₁=1，t₂=3（舍去）．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为$\frac{1}{2}$，3-$\sqrt{5}$或1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了用方程组求函数交点的坐标、平行四边形的性质、等腰三角形的定义，用含t的式子表示出△MND的三边长是解题的关键．