Question

7．已知：在△ACB和△DCE中，CA=CB，CD=CE，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，当∠ACB=∠DCE=60°时，
填空：①∠AEB的度数为60°；
②线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE．
（2）如图2，当∠ACB=∠DCE=90°，试求∠AEB的度数，判断线段AD、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）若∠ACB=∠DCE=n°，则∠AEB的度数为n°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定和性质得出∠AEB的度数即可，先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；
（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通过等量代换得到∠DCB=∠EBC，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；
（3）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰三角形，得到∠CDE=∠CED=90°-$\frac{1}{2}$n，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=90°+$\frac{1}{2}$n，∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=n．

解答 （1）①∵在△ACB和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°，
故答案为：①60；②AD=BE；                    
（2）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠ECB，
∵CA=CB，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDA≌△CEB，
∴AD=BE；
由△CDA≌△CEB得∠CEB=∠CDA
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠CEB=∠CDA=135°，
∴∠AEB=90°；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰三角形，
∴∠CDE=∠CED=90°-$\frac{1}{2}$n，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=90°+$\frac{1}{2}$n，∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=n，
故答案为：n．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．