Question

13．知图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，∠BAC的平分线交BC于D，经过A、D的⊙O交AB于E，并且点O在AB上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求CD的长及⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DC．
（2）过D点作DG⊥AB于G点．在直角三角形BDG中利用勾股定理求出CD，进而得出圆的半径．

解答 解：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD．
∴OD∥AC．
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切线；
（2）过D作DG⊥AB于G，
∴DG=DC，AG=AC．（5分）
设DC=x，则BD=16-x，BG=8，
∴8²+x²=（16-x）²
∴x=6．（6分）
设半径为r，则（12-r）²+6²=r²
∴r=7.5．

点评 本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定定理，特别是要把证明切线问题转化成垂直问题；在几何计算中，学会设未知数，充分利用勾股定理建立等量关系，解方程．这就是方程的思想在几何中的运用．