Question

13．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求$\frac{EF}{DE}$的值．

Answer 1

分析 过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，利用平行线分线段成比例定理得到BG=GH=AH，利用三角形中位线性质得到KH=$\frac{1}{2}$GM，GM=$\frac{1}{2}$NH，则HK=$\frac{1}{4}$NH，所以$\frac{HK}{KN}$=$\frac{1}{3}$，然后利用DF∥NH得到$\frac{HK}{DE}$=$\frac{AK}{AE}$，$\frac{NK}{EF}$=$\frac{AK}{AE}$，然后利用比例性质可求出$\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，
∵BM=MN=NC，
∴BG=GH=AH，
∵HK∥GM，
∴KH=$\frac{1}{2}$GM，GM=$\frac{1}{2}$NH，
∴HK=$\frac{1}{4}$NH，
∴$\frac{HK}{KN}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF∥NH，
∴$\frac{HK}{DE}$=$\frac{AK}{AE}$，$\frac{NK}{EF}$=$\frac{AK}{AE}$，
∴$\frac{HK}{DE}$=$\frac{NK}{EF}$，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{HK}{NK}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作GM∥AC，NH∥AC构造平行线分线段成比例的基本图形是解决问题的关键．