Question

11．阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{2007×2008}$=$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$） （其中n，k均为正整数），并计算$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2005×2008}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的列子可直接得出结论；
（2）分别计算出$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$的值，再进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2007×2008}$=$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$．
故答案为：$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$；

（2）∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{35}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1003}{2007}$．
故答案为：$\frac{1003}{2007}$；

（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）．
$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2005×2008}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2008}$）=$\frac{669}{2008}$．
故答案为：$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）．

点评 本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．