Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BG⊥CD于点G．
（1）若点P在BC上，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，求证：PE+PF=BG．
（2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的长．

Answer 1

分析：（1）运用“截长补短”的思想证明．作PM⊥BG于M．则四边形PMGF是矩形，PF=MG；再证PE=BM，转证△PBE≌△BPM即可．
（2）过点D作DN∥AB交BC于点N．证明△DNC是等边三角形，则∠C=60°．在Rt△BGC中运用三角函数求解．

解答：解：（1）作PM⊥BG于M．
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PM⊥BG，
∴四边形PMGF为矩形，PF=MG．
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C．
∵PM⊥BG，CD⊥BG，
∴PM∥CD．
∴∠MPB=∠C=∠EBP．
又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB，
∴△BEP≌△PMB，
∴PE=BM．
∴PE+PF=BM+MG=BG；

（2）过点D作DN∥AB交BC于点N．
则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=2．
∵BC=6，AD=4，
∴NC=2，
∴△DNC是等边三角形，∠C=60°，
∴BG=BC•sin60°=6×

3

2

=3

3

．

点评：此题考查了等腰梯形的性质．证明线段的和差问题常用截长补短的方法；平移腰是解决梯形问题时常作的辅助线．