Question

如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，DB=AC．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵在△BDE与△CAE中，
，
∴△BDE≌△CAE（AAS）．

（2）点B与点C关于直线OE对称．
理由如下：
解：如图，连接OB、OC、BC，
由（1）得△BDE≌△CAE，
∴BE=CE．
∴点E在线段BC的中垂线上，
∵BO=CO，
∴点O在线段BC的中垂线上，
∴直线EO是线段BC的中垂线，
∴点B与点C关于直线OE对称．
分析：（1）根据圆周角定理可得∠DEB=∠AEC，利用AAS定理可证明两三角形全等；
（2）由（1）的结论可得BE=CE，点E在线段BC的中垂线上，再由BO=CO，得出点O在线段BC的中垂线上，从而判断直线EO是线段BC的中垂线，得出结论．
点评：本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆周角相等，全等三角形的对应边相等等．