Question

15．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数于点B，连接BC

（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）当过点D的直线l将△ABC分为面积比为1：6的两部分时，求直线l的解析式；
（3）点P是直线AC上的动点，若△PCM与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
（2）先求得△BAC的面积为6，然后分为l与BC相交和AC相交两种情况，然后再求得l与BC和AC的交点坐标，最后利用待定系数法求得l的解析式即可；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=-x²+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得b=2，c=4，
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+4，配方得y=-（x-1）²+5，
∴点M的坐标为（1，5）．
（2）∵抛物线的对称为x=1，且点B与点A关于x=1对称，
∴B（-1，1）．
∴AB=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
如图1所示：当l与BC相交与点E时，作EF⊥y轴，垂足为F．

∵点D的直线l将△ABC分为面积比为1：6的两部分时，
∴△BDE的面积=1，则$\frac{1}{2}$BD•DF=1，即$\frac{1}{2}$×1×DF=1，解得：DF=2，
∴FC=1．
∵EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD．
∴$\frac{EF}{DB}$=$\frac{FC}{DC}$，即$\frac{EF}{1}=\frac{1}{3}$．
∴EF=$\frac{1}{3}$．
∴点E的坐标为（-$\frac{1}{3}$，3）．
设直线l的解析式为y=kx+b，将点E和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-\frac{1}{3}k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-6，b=1，
∴直线l的解析式为：y=-6x+1．
如图2所示：当l与AC相交与点E时，作EF⊥AD轴，垂足为F．

∵DC=DA，∠CDA=90°，
∴∠EAF=45°．
∴△AFE为等腰直角三角形．
∵点D的直线l将△ABC分为面积比为1：6的两部分时，
∴△ADE的面积=1，则$\frac{1}{2}$AD•EF=1，即$\frac{1}{2}$×3×EF=1，解得：EF=$\frac{2}{3}$，
∴AF=$\frac{2}{3}$．
∴点E的坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
设直线l的解析式为y=kx+b，将点E和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{7}{3}k+b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{2}{7}$，b=1．
∴直线l的解析式为：y=$\frac{2}{7}$x+1．
综上所述，直线l的解析式为y=$\frac{2}{7}$x+1或y=-6x+1．
（3）如图所示：过点P₁作P1E⊥y轴，垂足为E，过点M作MF⊥y轴，垂足为F．

∵M（1，5），C（0，4），
∴CF=FM=1．
∴△CFM为等腰直角三角形．
∴∠FCM=45°，CM=$\sqrt{2}$．
又∵∠DCA=45°，
∴∠MCA=90°．
当△CMP₁∽△DBC时，$\frac{CM}{C{P}_{1}}=\frac{BD}{CD}$即$\frac{\sqrt{2}}{C{P}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴CP₁=3$\sqrt{2}$．
∴EP₁=CE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
∴点P₁的坐标为（3，1）．
同理：可知点P₄的坐标为（-3，7）．
当CMP₂∽△DCB时，$\frac{CM}{C{P}_{2}}$=$\frac{DC}{BD}$=3即$\frac{\sqrt{2}}{C{P}_{2}}$=3，
∴CP₂=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴P₂的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4-$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）即（$\frac{1}{3}$，$\frac{11}{3}$）．
同理：P₃的坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4+$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）即（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）．
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（-3，7）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P的坐标．