Question

3．如图，在直角坐标系中，直线AB与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，$\frac{16}{3}$）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D，点C为直线AB上一点以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线．
（2）求出⊙G的半径；
（3）连结EC，求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接DG，要证明y轴是⊙G的切线，只需要连接GD后证明GD⊥OB即可．
（2）由（1）可知GD∥OA，则△BDG∽△BOA，设半径为r后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径r的值．
（3）连接CE，设OE=a，则AE=4-a，易证△ACE∽△ABO，由相似三角形的性质可得到CE和OE数量关系，再利用勾股定理可求出a的值，进而可求出数△ACE的面积．

解答 解：（1）连接GD，如图1，
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD为半径，
∴y轴是⊙G的切线；

（2）∵A（4，0），B（0，$\frac{16}{3}$），
∴OA=4，OB=$\frac{16}{3}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=$\frac{20}{3}$，
设半径GD=r，则BG=$\frac{20}{3}$-r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴$\frac{DG}{OA}=\frac{BG}{AB}$，
$\frac{20}{3}$r=4（$\frac{20}{3}$-r），
∴r=2.5；

（3）连接CE，如图2，
∵AC是圆的直径，
∴∠AEC=∠BOE=90°，
∴CE∥OB，
∴△ACE∽△ABO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{CE}{OB}$，
设OE=a，则AE=4-a，
∴CE=$\frac{4}{3}$（4-a），
∵CE²+AE²=AC²，
∴$\frac{16}{9}$（4-a）²+（4-a）²=25，
∴a=1或a=7（不合题意，舍去）
∴AE=3，由勾股定理可得CE=4，
∴△ACE的面积=$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来，灵活运用．