Question

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上一点，⊙O与AC、BC都相切．若BC=6，AC=8，则⊙O的半径为（　　）

• A． $\frac{24}{7}$
• B． 4
• C． 5
• D． 2

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OD=OE=r，易得四边形ODCE为正方形，则CD=OD=r，再证明△ADO∽△ACB，然后利用相似比得到$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{8}$，再根据比例的性质求出r即可．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O与AC、BC都相切，
∴OD=OE=r，
而∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=OD=r，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{8}$，解得r=$\frac{24}{7}$，
即⊙O的半径为$\frac{24}{7}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．