Question

15．阅读课本材料，解答后面的问题．
折纸与证明
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以，点C落在AB上的点C′处（图2）．于是，由∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．
在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
（1）如图3，当AD⊥BC时，求证：AB+BD=DC；
（2）如图4，当AD是∠BAC的角平分线时，写出AB、BD、AC的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）在DC上截取DE=BD，连接AE，证明CE=AB即可；
（2）在AC上截取AF=AB，连接DF，证明CF=BD即可；

解答 解：（1）如图3，在DC上截取DE=BD，连接AE，

∵AD⊥BC，
∴AB=AE，∠ABD=∠AED，
∵∠ABD=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∵∠AED=∠C+∠EAC，
∴∠C=∠EAC，
∴EC=AE=AB，
∴CD=DE+EC=AB+BD；
（2）AB+BD=AC．
如图4，在AC上截取AF=AB，连接DF，

∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAD=∠FAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠AFD=∠B=2∠C，BD=DF，
∵∠AFD=∠C+∠FDC，
∴∠FDC=∠C，
∴FC=FD=BD，
∴AC=AF+FC=AB+BD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．在证明线段和差关系等式时，往往采用截长补短法，截长就是将长的那条线段一分为二，并让其中一条等于两条短线段当中的一条，这样就只需证明剩下的两条线段对应相等即可；补短就是将两条短线段拼接在一起形一条长线段，然后只需证明两条长线段相等即可．截长补短体现的是“分”与“合”的不同思维，但最终的效果是一致的．