Question

10．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，点C在⊙O上，BC⊥PB于点 B，OC为⊙O的半径．
（1）求证：CA平分∠OCB；
（2）若BC=8，tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径；
（3）将射线AB沿直线AC翻折，交于点D，求弦AD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OA，如图1，根据切线的性质得OA⊥AB，而BC⊥PB，则可判断OA∥BC，所以∠OAC=∠ACB，加上∠OCA=∠OAC，所以∠OCA=∠ACB；
（2）过C点作直径CE，连结AE，如图1，在Rt△ACB中，利用正切得定义可计算出AB=6，再利用勾股定理计算出AC=10，则利用余弦定义得到cos∠OCA=cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，接着根据圆周角定理得到∠CAE=90°，利用余弦的定义可计算出CE=$\frac{25}{2}$，于是可得到⊙O的半径；
（3）如图2，CE为直径，AD交CE于点F，根据折叠的性质得∠DAC=∠CAB，则根据“ASA”可判断△ACF≌△ACB，得到∠CEA=∠B=90°，AF=AB=6，再根据垂径定理得到AF=DF，所以AE=2AF=12．

解答 （1）证明：连结OA，如图1，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∵BC⊥PB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠ACB，
即AC平分∠OCB；
（2）解：过C点作直径CE，连结AE，如图1，
在Rt△ACB中，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OCA=∠ACB，
∴cos∠OCA=cos∠ACB=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE为直径，
∴∠CAE=90°，
∴cos∠ECA=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{4}{5}$，
∴CE=$\frac{5}{4}$×10=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{4}$；
（3）解：如图2，CE为直径，AD交CE于点F，
∵射线AB沿直线AC翻折得到弦AD，
∴∠DAC=∠CAB，
在△ACF和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠BCA}\\{AC=AC}\\{∠FAC=BAC}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△ACB，
∴∠CEA=∠B=90°，AF=AB=6，
∴CE⊥AD，
∴AF=DF，
∴AE=2AF=12．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形和折叠的性质．