Question

如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2

3

，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直线OD所对应的函数关系式；
（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2

3

，所以OB=4；
因为

BM

OM

=

1

2

，所以

4-OM

OM

=

1

2

，OM=

8

3

．
（2）由（1）得：OM=

8

3

，即BM=

4

3

．由于DB∥OA，易证

DB

OA

=

BM

OM

=

1

2

，故DB=1，D（1，2

3

）．故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2

3

x．
（3）依题意：当0＜t≤

8

3

时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON=

2 3

2

=

3

，故∠PON=60°，OP=t，故ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，直线OD所对应的函数关系式是y=2

3

x，
设E（n，2

3n

）易证得△APN∽△AEF，故

PN

EF

=

AN

AF

，故n=

2t

8-t

，由此，S_△OAE=

1

2

OA•EF=

1

2

×2×2

3

×

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

）；
当

8

3

＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO，
∴

BE

OA

=

BP

OP

，
∴

BE

2

=

4-t

t

，BE=

2(4-t)

t

，
可分别求出三角形的值．

解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2

3

，
∴OB=4，
∵

BM

OM

=

1

2

，
∴

4-OM

OM

=

1

2

，
∴OM=

8

3

．

（2）由（1）得：OM=

8

3

，
∴BM=

4

3

，
∵DB∥OA，易证

DB

OA

=

BM

OM

=

1

2

，
∴DB=1，D（1，2

3

），
∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2

3

x．

（3）依题意：当0＜t≤

8

3

时，E在OD边上，
分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
∵tan∠PON=

2 3

2

=

3

，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，
∵直线OD所对应的函数关系式是y=2

3

x，
设E（n，2

3

n）易证得△APN∽△AEF，
∴

PN

EF

=

AN

AF

，
∴

3 2 t

2 3 n

=

2- 1 2 t

2-n

，
整理得：

t

2n

=

4-t

2-n

，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=

2t

8-t

．
由此，S_△OAE=

1

2

OA•EF=

1

2

×2×2

3

×

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

），
当

8

3

＜t＜4时，点E在BD边上，
此时，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
∵DB∥OA，
易证：△EPB∽△APO，
∴

BE

OA

=

BP

OP

，
∴

BE

2

=

4-t

t

，
BE=

2(4-t)

t

，
S_△ABE=

1

2

BE•AB=

1

2

×

2(4-t)

t

×2

3

=

4-t

t

×2

3

=

2 3 (4-t)

t

=

8 3 -2 3 t

t

，
∴S=

1

2

（1+2）×2

3

-

4-t

t

×2

3

=3

3

-

4-t

t

×2

3

=-

8 3

t

+5

3

，
综上所述：S=

4 3 t 8-t 0＜t≤ 8 3 - 8 3 t +5 3 8 3 ＜t＜4

．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2

3

，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，
即：P（

1

2

t，

3

2

t），又（2，0），
设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，
则

1 2 tk+b= 3 2 t 2k+b=0

，
解得：k=-

3 t

4-t

，b=

2 3 t

4-t

，
∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=-

3 t

4-t

x+

2 3 t

4-t

．
依题意：当0＜t≤

8

3

时，在OD边上，
∴E（n，2

3

n），在直线AP上，
∴-

3 t

4-t

n+

2 3 t

4-t

=2

3

n，
整理得：

tn

t-4

-

2t

t-4

=2n，
∴n=

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

），
当

8

3

＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2

3

），因为E在直线AP上，
∴-

3 t

4-t

n+

2 3 t

4-t

=2

3

，
整理得：

tn

t-4

+

2t

t-4

=2∴8n-nt=2t，
∴n=

4t-8

t

，
BE=2-n=2-

4t-8

t

=

2(4-t)

t

，
∴S=

1

2

（1+2）×2

3

-

4-t

t

×2

3

=3

3

-

4-t

t

×2

3

=-