Question

13．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=3，AO=2$\sqrt{2}$，那么AC的长为7．

Answer 1

分析 如图在CA上截取CM=AB，连接OM，只要证明△ABO≌△MCO得△OAM是等腰直角三角形，求出AM即可解决问题．

解答 解：如图在CA上截取CM=AB，连接OM，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠ABO+∠AKB=90°，∠OCM+∠OKC=90°，∠AKB=∠OKC，
∴∠ABO=∠OCM，
在△ABO和△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CM}\\{∠ABO=∠MCO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△MCO，
∴AO=MO，∠AOB=∠COM，
∴∠AOM=∠BOC=90°，
∵AO=OM=2$\sqrt{2}$，AB=CM=3，
∴AM=$\sqrt{A{O}^{2}+{MO}^{2}}$=4，
∴AC=AM+CM=4+3=7
故答案为：7．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．