Question

【题目】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．

（1）求证：AD平分∠BAC．

（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.

【解析】

（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；

（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．

证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴△BDE与△CDE均为直角三角形，

∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE＝DF，

∴AD平分∠BAC；

（2）AB+AC＝2AE．

理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵∠E＝∠AFD＝90°，

∴∠ADE＝∠ADF，

在△AED与△AFD中，

∴△AED≌△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．