Question

已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B=∠ACB=30°，弦AD交BC于E，AE=2，ED=4，则⊙O的半径为________．

Answer 1

2
分析：连接OA，OC，AO交BC于点F，根据已知和圆周角定理可证∠O=2∠D=60°，即证△OAC是等边三角形，可证△ABE≌△ACE，得到∠AEB=∠AEC=90°，由勾股定理和相交弦定理得BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF²-EF²=AB²-AF²-EF²=AB²-AE²=AB²-4=8，即可求AB²=12，半径等于2．
解答：解：连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA=OC，∠B=∠C，
∴AB=AC，
由圆周角定理知，∠O=2∠D=60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB=AC=OA，
∵∠B=∠C，
∴AE⊥BC
∵AB=AC，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴BF²=AB²-AF²，AF²+EF²=AE²，
由相交弦定理知，BE•CE=AE•ED=8，
而BE•CE=（BF+EF）（BF-EF）=BF²-EF²=AB²-AF²-EF²=AB²-AE²=AB²-4=8，
∴AB²=12，
∴半径等于2．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相交弦定理求解．