【题目】如图,AD∥BC,若∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,射线OM上有一动点P.
(1)当点P在A,B两点之间运动时,∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的何数量关系.
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β,理由见解析;(2)①当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;理由见解析;②当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.理由见解析.
【解析】
(1)过P作PE∥AD交CD于E,根据平行线判定和性质,得∠CPD=∠α+∠β.(2)过P作PE∥AD交CD于E,根据平行线判定和性质,得①当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;②当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.
(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:
如图1,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(2)分两种情况:①当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;
理由:如图2,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α;
②当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.
理由:如图3,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β.
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【题目】特例研究:如图,等边的边长为8,求等边的高.
经验提升:
如图,在中,,点P为射线BC上的任一点,过点P作,,垂足分别为D、E,过点C作,垂足为补全图形,判断线段PD,PE,CF的数量关系,并说明理由.
综合应用:
如图,在平面直角坐标系中有两条直线:,:,若线段BC上有一点M到的距离是1,请运用中的结论求出点M的坐标.
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【题目】小晗家客厅里装有一种三位单极开关,分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯,在正常情况下,小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯,既可三盏、两盏齐开,也可分别单盏开.因刚搬进新房不久,不熟悉情况.
(1)若小晗任意按下一个开关,正好楼梯灯亮的概率是多少?
(2)若任意按下一个开关后,再按下另两个开关中的一个,则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少?请用树状图法或列表法加以说明.
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=110°,将四边形BCD绕点A逆时针旋转到平行四边形AB′C′D′的位置,旋转角α(0°<α<70°),若C′D′恰好经过点D,则α的度数为 .
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【题目】每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形,菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示.
(1)以O为位似中心,在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1 , 请画出菱形OA1B1C1 , 并直接写出点B1的坐标;
(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA2B2C2 , 请画出菱形OA2B2C2 , 并求出点B旋转到点B2的路径长.
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【题目】在某体育用品商店,购买50根跳绳和80个毽子共用1120元,购买30根跳绳和50个毽子共用680元.
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元?
(2)该店在“元旦”节期间开展促销活动,所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元,该店的商品按原价的几折销售?
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【题目】已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E,F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.
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