Question

如图,已知反比例函数和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+1，b+k）两点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
(3)利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）由题意得   
②－①得 ∴反比例函数的解析式为. 
(2)由 解得， 
∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）  
（3），OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP得P₁（，0），P₂（－，0）；由OA=AP得P₃=（2，0）.
②当OA为底时，得P₄=（1，0）.
∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（－，0），（2，0），（1，0）

（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．
（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．
（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．