Question

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其顶点为D，且直线DC的解析式为y=x+3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
（3）若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．

Answer 1

分析：（1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C，那么这两个函数的解析式中的常数项相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出抛物线的顶点坐标，而这个顶点恰好在直线CD上，因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值，由此得解．
（2）△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同，即为△ABC的外接圆半径；因此先设出该外心的坐标，然后表示出三个半径长，令它们相等即可，可据此思路解题．
（3）四边形ACPB中，△ABC的面积是个定值，因此△CPB的面积最大时，四边形的面积最大；可以过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，首先要求出线段PE的长度表达式，以PE为底、OB为高，即可得到△CPB的面积表达式，由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式，再根据函数的性质解题即可．

解答：解：（1）∵二次函数：y=-x²+bx+c的图象与直线DC：y=x+3交于点C，
∴c=3，C（0，3）；
二次函数 y=-x²+bx+3中，顶点D （

b

2

，

b2+12

4

），代入直线DC y=x+3中，得：

b

2

+3=

b2+12

4

，
解得 b₁=0（舍）、b₂=2；
故二次函数的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
设△ABC的外心M（x，y），则：
AM²=（x+1）²+y²、BM²=（x-3）²+y²、CM²=x²+（y-3）²；
由于AM=BM=CM，所以有：

(x+1)2+y2=(x-3)2+y2 (x+1)2+y2=x2+(y-3)2

，
解得

x=1 y=1

此时 AM=BM=CM=

5

；
综上，△ABC的外接圆半径为

5

，外心的坐标（1，1）．

（3）如右图，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直线BC：y=-x+3；
设点P（x，-x²+2x+3），则E（x，-x+3），
PE=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x；
则S_{四边形ACPB}=S_△ACB+S_△CPB
=

1

2

AB•OC+

1

2

PE•OB
=

1

2

×4×3+

1

2

×（-x²+3x）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

；
综上，四边形ACPB的最大面积最大值为

75

8

．

点评：此题主要考查的是：函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；（3）题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分，解此类题目要注意结合图形，找出相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解题方法．