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【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm∠DAB=60°.点PA点出发,以cm/s的速度,沿ACC作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,PQ都停止运动.设点P运动的时间为ts

1)当P异于AC时,请说明PQ∥BC

2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?

【答案】解:(1四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2

∴AB=BC=2∠BAC=∠DAB

∵∠DAB=60°∴∠BAC=∠BCA=30°

如图1,连接BDACO

四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BDOA=AC

∴OB=AB=1∴OA=AC=2OA=2

运动ts后,AP=tAO=t

∵∠PAQ=∠CAB∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

2)如图2⊙PBC切于点M,连接PM,则PM⊥BC

Rt△CPM中,∵∠PCM=30°∴PM=

PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=

此时⊙P与边BC有一个公共点。

如图3⊙P过点B,此时PQ=PB

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t∴t=1

时,⊙P与边BC2个公共点。

如图4

⊙P过点C,此时PC=PQ,即=t

∴t=

1≤t≤时,⊙P与边BC有一个公共点。

当点P运动到点C,即t=2时,QB重合,⊙P过点B

此时,⊙P与边BC有一个公共点。

综上所述,当t=1≤t≤t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC1个公共点;当时,⊙P与边BC2个公共点。

【解析】

直线与圆的位置关系,菱形的性质,含30°角直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,切线的性质,等边三角形的判定和性质。

2)分⊙PBC切于点M⊙P过点B⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。

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得(2 +﹣1=0.

化简,得y2+2y﹣4=0,

故所求方程为y2+2y﹣4=0

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