【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1,连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。
运动ts后,AP=t,AO=t,∴。
又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC。
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=,
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当时,⊙P与边BC有2个公共点。
如图4,
⊙P过点C,此时PC=PQ,即=t
∴t=。
∴当1≤t≤时,⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C,即t=2时,Q、B重合,⊙P过点B,
此时,⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述,当t=或1≤t≤或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当时,⊙P与边BC有2个公共点。
【解析】
直线与圆的位置关系,菱形的性质,含30°角直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,切线的性质,等边三角形的判定和性质。
(2)分⊙P与BC切于点M,⊙P过点B,⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
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【题目】如图,∠AOB=90°,点C,D分别在射线OA,OB上,CE是∠ACD的平分线,CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)当∠OCD=56°(如图①),试求∠F;
(2)当C,D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)(如图②),∠F的大小是否变化?若变化,请说明理由若不变化求出∠F.
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【题目】如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=,求菱形BEDF的面积.
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【题目】如图,圆⊙O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(2,0),∠CAB=90°,AC=AB,顶点A在⊙O上运动,当直线AB与⊙O相切时,A点的坐标为____________.
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【题目】阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x﹣1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=,把x=,代入已知方程,
得()2 +﹣1=0.
化简,得y2+2y﹣4=0,
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+2x﹣1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为 ;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点B作∠CBE=∠A,BE与射线CA相交于点E,与射线CD相交于点F.
(1)如图,当点E在线段CA上时,求证:BE⊥CD;
(2)若BE=CD,那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论;
(3)若△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
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【题目】如图是某地火车站及周围的简单平面图.(每个小正方形的边长代表1千米.)
(1)请以火车站所在的位置为坐标原点,建立平面直角坐标系,并表示出体育场A、超市B市场C、文化宫D的坐标.
(2)在这个坐标平面内,连接OA,若∠AOB的度数大约为53°,请利用所给数据描述体育场相对于火车站的位置.
(3)要想用第(2)问的方法描述文化宫在火车站的什么位置,需要测量哪些数据?
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