Question

19．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴交于点A，
∴A（0，1），
∵y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过（1，0）和（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1即E点的坐标（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1），
又∵点E在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1=$\frac{1}{2}$m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐标为（4，3）．
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP₁⊥DE交x轴于P₁点，设P₁（a，0）易知D点坐标为（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得$\frac{DO}{OA}$=$\frac{OA}{OP}$，即 $\frac{2}{1}$=$\frac{1}{a}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP₂⊥DE交x轴于P₂点，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，$\frac{DO}{OA}$=$\frac{DE}{E{P}_{2}}$，即 $\frac{2}{1}$=$\frac{3\sqrt{5}}{E{P}_{2}}$，
∴EP₂=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴DP₂=$\frac{3\sqrt{5}×\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴a=$\frac{15}{2}$-2=$\frac{11}{2}$，
P₂点坐标为（$\frac{11}{2}$，0）．
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P₃（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由 $\frac{AO}{PF}$=$\frac{OP}{EF}$得 $\frac{1}{4-b}$=$\frac{b}{3}$，
解得b₁=3，b₂=1，
∴此时的点P₃的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）或（1，0）或（3，0）或（$\frac{11}{2}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．