Question

如图：已知在正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在BC上，且∠ADE=∠FDE．
（1）求证：DF=AB+FB；
（2）以E为圆心EB为半径作⊙E，试判断⊙E与直线DF与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD=4cm，点M在线段DF上从点D出发向点F运动，速度为0.5cm/s，以M为圆心，MD为半径作⊙M．当运动时间为多少秒时，⊙M与⊙E相切？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作EM⊥DF，交DF于点M，连接EF，运用RT△DAE≌RT△DME及RT△EMF≌RT△EBF即可得出DF=AB+FB；
（2）由AE=EM，且∠EMD=90°即可得出，⊙E与直线DF相切；
（3）设运动时间为t，先求出DN，再得出ME=2+0.5t，MN=4-0.5t，由勾股定理即可求出时间t．

解答：解：（1）如图1，作EM⊥DF，交DF于点M，连接EF，

∵∠ADE=∠FDE．∠EAD=∠EMD=90°，
∴AE=EM，
在RT△DAE和RT△DME中，

AE=EM DE=DE

∴RT△DAE≌RT△DME（HL）
∴AD=DM，
∴AB=DM，
∵E是边AB的中点，
∴EB=EM，
∵EF=EF，
在RT△EMF和RT△EBF中，

EB=EM EF=EF

，
∴RT△EMF≌RT△EBF（HL），
∴MF=FB，
∵DF=DM+MF，
∴DF=AB+FB．
（2）由（1）知AE=EM，且∠EMD=90°，
∵E是边AB的中点，
∴EB=EM，
∴以E为圆心EB为半径的⊙E与直线DF相切，
（3）如图2，设运动时间为t，

∵CD=4cm，
∴EN=4cm，DE=

AD2+AE2

=

42+22

=2

5

，
∵⊙E与直线DF相切，
∴DN=DA=4，
∵⊙M与⊙E相切，DM=0.5t
∴ME=2+0.5t，MN=4-0.5t，
∴在RT△MNE中有MN²+EN²=ME²，
∴（4-0.5t）²+2²=（2+0.5t）²，
解得t=

8

3

．
∴当M运动时间为

8

3

秒时，⊙M与⊙E相切．

点评：本题主要考查了圆的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，切线的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，找出线段的关系运用勾股定理求解．