Question

12．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是$\widehat{DF}$的中点，BC=a，写出求AE长的思路．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到OD⊥AB于D．根据平行线的性质得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂径定理即可得到结论；
（2）连接DC，DF．由M为CF的中点，E为$\widehat{DF}$的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=30°；根据切线的性质得到BC=BD=a．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB于D．
∴∠ODB=90°．
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90°．
∴OM⊥CF．
∴点M是CF的中点；
（2）思路：
连接DC，DF．
①由M为CF的中点，E为$\widehat{DF}$的中点，
可以证明△DCF是等边三角形，且∠1=30°；
②由BA，BC是⊙O的切线，可证BC=BD=a．
由∠2=60°，从而△BCD为等边三角形；
③在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=BD=a，可以求得AD=a，CO=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，OA=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$；
④AE=AO-OE=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
解：连接DC，DF，
由（1）证得M为CF的中点，DM⊥CF，
∴DC=DF，
∵E是$\widehat{DF}$的中点，
∴CE垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠1=30°，
∵BC，AB分别是⊙O的切线，
∴BC=BD=a，∠ACB=90°，
∴∠2=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AE=AO-OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．