Question

已知CD⊥AB，AC²=AD•AB，求证：
（1）CD²=AD•BD；
（2）△ABC是直角三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据AC²=AD•AB，可证明△ACD∽△ABC，从而得出∠ACD=∠ABC，可证明△ACD∽△CBD，从而得出CD²=AD•BD；
（2）由（1）得△ACD∽△ABC，从而得出∠ACB=90°，则△ABC是直角三角形．

解答：证明：（1）∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，
∴CD²=AD•BD；
（2）由（1）得△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，判定两个三角形相似的方法有：三边对应成比例两个三角形相似；两边对应成比例，夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．