Question

1．如图，在△ABC中，已知：∠CAB=120°，AB=3，AC=5，AD⊥BC于D，试求：
（1）BC的长；
（2）AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于点H，根据∠CAB的度数求出∠HAB的度数，进而求出∠ABH=30°，利用30度所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理分别求出AH与BH的长，利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）由三角形CBH与三角形ACD相似，由相似得比例求出AD的长即可．

解答 解：（1）如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于点H，
∵∠CAB=120°，
∴∠HAB=60°，∠ABH=30°，
∵AB=3，
∴AH=1.5，BH=1.5$\sqrt{3}$，
则BC=$\sqrt{（1.5\sqrt{3}）^{2}+6．{5}^{2}}$=7；
（2）∵△BCH∽△ACD，
∴$\frac{BH}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{1.5\sqrt{3}}{AD}$=$\frac{7}{5}$，
解得：AD=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．