Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，连结OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠DAF=∠ODA，

∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线

（2）

解：①连接BD，

∵直径AB，

∴∠ADB=90°，

∵圆O与BE相切，

∴∠ABE=90°，

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，

∴∠DAB=∠DBE，

∴∠DBE=∠FAD，

∵∠BDE=∠AFD=90°，

∴△BDE∽△AFD，

∴ ．

【解析】（1）连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得 ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．