Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B从坐标原点O出发，沿x轴负半轴运动，以AB为边作等边三角形ABC（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为△AOC₁．
（1）求点C₁的坐标；
（2）连接CC₁，求证：△AOB≌△AC₁C；
（3）求动点C所在图象的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）过点C₁作C₁H⊥y轴于H，则OH=AH=1，利用勾股定理求出HC₁的长即可解决问题．
（2）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（3）由△AOB≌△AC₁C，推出∠BOA=∠CC₁A=90°，推出动点C的图象是一条直线，设CC₁交y轴于点M，想办法求出点M的坐标，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）过点C₁作C₁H⊥y轴于H，则OH=AH=1，
∴C₁H=$\sqrt{{C}_{1}{O}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C₁（$\sqrt{3}$，1）．

（2）∵△ABC和△AOC₁都是等边三角形，
∴BA=CA，OA=C₁A，∠BAC=∠OAC₁=60°，
∴∠BAO=∠CAC₁，
在△AOB和△AOC₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CA{C}_{1}}\\{AO=A{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CAC₁．

（3）∵△AOB≌△AC₁C，
∴∠BOA=∠CC₁A=90°，
∴动点C的图象是一条直线，设CC₁交y轴于点M，
∵∠C₁OA=∠AC₁O=60°，
∴∠OMC₁=∠OC₁M=30°，
∴OM=OC₁=2，
∴M（0，-2），
设直线CC₁的函数解析式为y=kx+b，代入C（$\sqrt{3}$，1），M（0，-2），得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴动点C所在图象的函数解析式为y=$\sqrt{3}$x-2（x≤$\sqrt{3}$）

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，发现动点C的运动图象是直线是解题的突破点，属于中考压轴题．